|
<center>{{mate|-(a {{o+}} b){{=}}(-a) {{o+}} (-b)}}.</center>
==Nëngrupi==
Le të jetë {{mate|(A, {{o}})}} grup.
===Përkufizimi===
{{HZP|Nëngrupi}}
===Nëngrupet triviale dhe jotriviale===
Secili grup {{mate|(A, {{o}})}} përmban së paku dy nëngrupe - vetë grupin {{mate|(A, {{o}})}} dhe nëngrupin {{mate|({e}, {{o}})}}, ku {{mate|e}} është element neutral. Këto nëngrupe quhen nëngrupe triviale të grupit {{mate|(A, {{o}})}}. Nëse grupi {{mate|(A, {{o}})}} përmban edhe nëngrupe tjera {{mate|(A{{sub|k}}, k{{=}}1, 2, ... , n}}, ato quhen nëngrupe jotriviale (nëngrupe të vërteta) të grupit {{mate|(A, {{o}})}} dhe shënohen {{mate|(A{{sub|k}}, {{o}}) < (A, {{o}})}}.
{{dygishta}}Që të jetë {{mate|(A{{sub|1}} , {{o}} < (A, {{o}})}} duhet të plotësohen këto tri kushte:
{{dygishta}}(b{{sub|1}}){{mate|A {{sub|1}} {{nën}} A {{dhe}} e {{enë}} A {{sup|1}} }} , ku {{mate|e}} është element neutral;
{{dygishta}}(b{{sub|2}}){{mate|({{çdo}} a,b {{enë}} A{{sub|1}})a {{o}} b {{enë}} A{{sub|1}} }} dhe;
{{dygishta}}(b{{sub|3}}){{mate|({{çdo}} a {{enë}} A{{sub|1}}){{ekziston!}} a{{sup|-1}} {{enë}} A{{sub|1}} }} i tilllë që {{mate|a {{o}} a{{sup|-1}} {{=}} a{{sup|-1}} {{o}} a {{=}} e }} .
{{dygishta}}Saktësia e këtij pohimi rrjedh drejtpërdrejti nga përkufizimet 6.1. dhe 6.3. {{dygishta}}Për shembull:
{{dygishta}}(1){{mate|(A{{sub|1}} ,< (A, {{o}})}} , ku {{mate|A {{=}} { - 1, 1, - i, i}, A{{sub|1}} {{=}} { -1, 1} }} , meqë plotësohen kushtet {{mate|(b{{sub|1}}) - (b{{sub|3}}) }} ;
{{dygishta}}(2){{mate|({{numratZ}} ,, + )<({{numratQ}}, +)}} , sepse
{{dygishta}}(b{{sub|1}}){{mate| {{numratZ}} {{nën}} {{numratQ}} , 0 {{enë}} {{numratZ}} }} ;
{{dygishta}}(b{{sub|2}}){{mate|({{çdo}} a, b {{enë}} {{numratZ}}) a + b {{enë}} {{numratZ}} }}, dhe
{{dygishta}}(b{{sub|3}}){{mate|({{çdo}} a {{enë}} {{numratZ}}) a{{sup|-1}} {{=}} (-a){{enë}} {{numratZ}} }} ; i tillë që {{mate|a+(-a){{=}} 0}} ;
{{dygishta}}(3){{mate|(A,.)<({{numratR}} \{0},.)}} , ku {{mate|A {{=}} {a+b {{rrënja|3}} - {{f!}} a {{enë}} {{numratQ}} , b {{enë}} {{numratQ}} {{dhe}} a+b {{rrënja|3}} {{jo=}} 0} }} ,
:sepse:
{{dygishta}}(b{{sub|1}}){{mate|A {{nën}} {{numratR}} \.{0}, 1 {{enë}} A;}}
{{dygishta}}(b{{sub|2}}){{mate|({{çdo}} a+b {{rrënja|3}} , c + d {{rrënja|3}} {{enë}} A) (a+b {{rrënja|3}}) (c+d {{rrënja|3}}){{=}} p+q {{rrënja|3}} {{enë}} A }} ,
:dhe
{{dygishta}}(b{{sub|3}}){{mate|({{çdo}} a+b {{rrënja|3}} {{enë}} A) a{{sup|-1}} {{=}}<math>\textstyle \mathrm { \frac{a}{a^{2}-3b^{2}} + \frac{-b}{ a^{2}-3b^{2}} }</math> {{rrënja|3}} {{=}} r + s {{rrënja|3}} {{enë}} A}}, i tillë
:që {{mate|a • a{{sup|-1}} {{=}} 1}} .
{{S h e m b u l l i|22}} Të tregohet se bashkësi {{mate|A {{=}} {p{{sub|1}} , p{{sub|2}} , ... p{{sub|6}} } }} ku:
{{dygishta}}{{mate|p{{sub|1}} {{=}} <math> \Bigl( \begin{matrix} \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \\ \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \end{matrix} \Bigr) </math>}},{{mate|p{{sub|2}} {{=}} <math> \Bigl( \begin{matrix} \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \\ \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf c & \scriptstyle \mathbf b \end{matrix} \Bigr) </math>}}, {{mate|p{{sub|3}} {{=}} <math> \Bigl( \begin{matrix} \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \\ \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf c \end{matrix} \Bigr) </math>}},
{{dygishta}}
{{dygishta}}{{mate|p{{sub|4}} {{=}} <math> \Bigl( \begin{matrix} \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \\ \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c & \scriptstyle \mathbf a \end{matrix} \Bigr) </math>}},{{mate|p{{sub|5}} {{=}} <math> \Bigl( \begin{matrix} \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \\ \scriptstyle \mathbf c & \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b \end{matrix} \Bigr) </math>}},{{mate|p{{sub|6}} {{=}} <math> \Bigl( \begin{matrix} \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \\ \scriptstyle \mathbf c & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf b \end{matrix} \Bigr) </math>}},
:në lidhje me shumëzimin e pasqyrimeve {{mate|{{o}} }} është grup {{mate|(A, {{o}}) }}. Të caktohen të gjitha nëngrupet jotriviale të grupit {{mate|(A, {{o}}) }}. {{Z g j i d h j e}} Formojmë tabelën e shumëzimit të pasqyrimeve:
{|border=0 align=center cellpadding=0 cellspacing=1 style="text-align: center;"
| {{mate|{{o}}}}
|rowspan="9" bgcolor="black" style="width:1px" |
| {{mate| p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}}}}
|-style="height:1px"
|colspan="3" bgcolor="black" |
|-
| {{mate|p{{sub|1}}}}
| {{mate| p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}}}}
|-
| {{mate|p{{sub|2}}}}
| {{mate| p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}} p{{sub|1}}}}
|-
| {{mate|p{{sub|3}}}}
| {{mate| p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}} p{{sub|1}} p{{sub|2}}}}
|-
| {{mate|p{{sub|4}}}}
| {{mate| p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}} p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}}}}
|-
| {{mate|p{{sub|5}}}}
| {{mate| p{{sub|5}} p{{sub|6}} p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}}}}
|-
| {{mate|p{{sub|6}}}}
| {{mate| p{{sub|6}} p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}}}}
|}
<br clean=all />
{{dygishta}}Nga kjo tabelë shihet se plotësohen të katër aksiomat e grupit, ku {{mate|p{{sub|1}} }} është element neutral, kurse për secilin element të bashkësisë {{mate|A}} ekziston elementi invers në lidhje me veprimin {{mate|{{o}} }} :
{| align=center
|{{dygishta}}
| Elementi|| {{mate|p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}} }}
|-
| ||colspan="2" bgcolor="black" |
|-
| ||Elem. i invers || {{mate|p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}} }}
|}
:andaj {{mate|(A, {{o}})}} është grup.
{{dygishta}}Nëngrupet jotriviale të grupit {{mate|(A, {{o}})}} janë: {{mate|(A{{sub|1}}, {{o}}), (A{{sub|2}}, {{o}}), (A{{sub|3}}, {{o}})}} dhe {{mate|(A{{sub|4}},{{o}} ) }} ku: {{mate|A{{sub|1}}{{=}}{p{{sub|1}}, p{{sub|2}}}, A{{sub|2}}{{=}}{p{{sub|1}}, p{{sub|3}}}, A{{sub|3}}{{=}}{p{{sub|1}}, p{{sub|6}}} dhe A{{sub|4}}{{=}}{p{{sub|1}}, p{{sub|4}}, p{{sub|6}} } }}
==Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit==
| 