Versioni i datës 11 mars 2015 13:16 redakto 46.99.31.99 (diskuto) →‎Vetitë e grupit ← Redaktim më i vjetër		Versioni aktual i datës 17 korrik 2020 22:33 redakto zhbëje Alexis Jazz (diskuto \| kontribute) 106 edits v m:Equals sign parser function template conflicts phab:T91154
Rreshti 106: {{dygishta}}Elementi i tillë {{mate\|a}} quhet ''përlindëse'' e grupit {{mate\|(A, {{o}})}}. <!---------------------------------------------------------------------------------------- --> {{S h e m b u l l i\|21}} Grupi {{mate\|(A, •)}}, ku {{mate\|A{{=Barazim}}<math> \Big\{ \scriptstyle {1,} \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} </math> <math> \Big\} </math>}} është grup ciklik me dy përlindëse:<math>\textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}</math> dhe <math>\textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}</math>.Vërtet: {{mate\|<math>\Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{2}= \textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} , \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{3}= 1, \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{4} = \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}, </math>}} etj. <!---------------------------------------------------------------------------------------- --> ==Vetitë e grupit== Prej aksiomave (a{{sub\|1}}) - (a{{sub\|4}}) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit: ====Vetia e elementit invers==== {{V e t i a\|1.}}Nëse në grupin {{mate\|(A, {{o}}) a{{sup\|-1}} }} është element invers i elementit {{mate\|a}}, edhe elementi {{mate\|a}} është invers për elementin {{mate\|a{{sup\|-1}} }}, d.m.th. {{mate\|(a{{sup\|-1}}){{sup\|-1}} {{=Barazim}}a}}. Kjo veti për grupin aditiv {{mate\|(A, {{o+}}) }} ka këtë trajtë: {{mate\|-(-a){{=Barazim}}a}}. ====Vetia e rrënjës==== {{V e t i a\|2.}} Në grupin {{mate\|(A, {{o}})}} secili barazim (1) {{mate\|a{{o}}x{{=Barazim}}b}},2) {{mate\|y{{o}}a{{=Barazim}}b}} ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën .{{mate\|x {{=Barazim}} a{{sup\|-1}} {{o}} b}}, kurse për barazimin (2) trajtën {{mate\|y {{=Barazim}} b {{o}} a{{sup\|-1}} }}. {{dygishta}}Për grupin aditiv abelian {{mate\|(A, {{o+}}) barazimet <center>{{mate\|a {{o+}} x{{=Barazim}}b}} dhe {{mate\|y {{o+}} a{{=Barazim}}b}}</center> :kanë një zgjidhje të përbashkët: {{mate\|x{{=Barazim}}y{{=Barazim}}(-a) {{o+}} b{{=Barazim}}b {{o+}} (-a){{=Barazim}}b-a}}. ====Vetit e implikuacioneve==== {{V e t i a\|3.}} Në grupin {{mate\|(A, {{o}})}} vlejnë këto implikacione: <center>{{mate\|a {{o}} b {{=Barazim}} a{{o+}}c{{implikacion}} b{{=Barazim}}c}},</center> <center>{{mate\|b{{o}}a{{=Barazim}}c{{o}}a{{implikacion}} b {{=Barazim}} c}}.</center> {{dygishta}}Në grupin aditiv abelian {{mate\|(A, {{o+}})}} vlen implikacioni <center>{{mate\|a {{o+}} b{{=Barazim}}a {{o+}} c{{implikacion}} b{{=Barazim}}c}}.</center> ====Vetia e vlerfshmëris së barazimit==== {{V e t i a\|4.}} Në secilin grup {{mate\|(A, {{o+}})}} vlen barazia: <center>{{mate\|(a{{o}}b){{sup\|-1}}{{=Barazim}}b{{sup\|-1}}{{o}}a{{sup\|-1}} }}.</center> Në grupin aditiv abelian {{mate\|(A, {{o+}})}} kjo veti shprehet me formulën: <center>{{mate\|-(a {{o+}} b){{=Barazim}}(-a) {{o+}} (-b)}}.</center> ==Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit== {{dygishta}}Le të jenë {{mate\|(A, {{o}}), (B, {{}} ) }} dy grupe dhe {{mate\|h:A→B}} pasqyrimi bashkësisë i {{mate\|A}} në bashkësinë {{mate\|B}}. Thuhet se grupet {{mate\|(A, {{o}} ) }} dhe {{mate\|(B, {{}} ) }} janë ''homomorfe'', kurse pasqyrimi{{mate\|h}} ''homorfizëm'' i grupit {{mate\|(A, {{o}})}} në grupin {{mate\|(B, {{}} ) }}, nëse (fig. 1.17.): <center>{{mate\|({{çdo}}a, b {{enë}} A) h (a {{o}} b) {{=Barazim}} h (a) {{}} h (b) }}.(...51)</center> {{dygishta}}Kur {{mate\|h (A){{=Barazim}}B}}, {{mate\|h}} quhet ''homomorfizëm'' i grupit {{mate\|(A, {{o}})}} mbi grupin {{mate\|(B, {{}})}} ose ''homomorfizëm'' surjektiv apo ''epimorfizëm'' (fig. 1.18.). :::Fig. 1.18. Fig. 1.17. {{dygishta}}Nëse {{mate\|e}} dhe {{mate\|e'}} janë elementet neutrale të grupeve homomorfe {{mate\|(A, {{o}})}} dhe {{mate\|(B, {{}})}}, atëherë kemi: {\|border=0 align=center cellpadding=0 cellspacing=1 \| {{mate\|h (a) {{=Barazim}} h (a {{o}} e) {{=Barazim}} h (a) {{}} h (e)}} \|rowspan="2"\|{{mate\| <math> \Big\} </math> h (e) {{=Barazim}} e'}}, \|- \| {{mate\|h (a) {{=Barazim}} h (e {{o}} a) {{=Barazim}} h (e) {{}} h (a)}} \|} :çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit {{mate\|(A, {{o}})}} është element neutral i grupit {{mate\|(B, {{*}})}}. Rreshti 155: \|{{dygishta}} \| valign="top"\|(1) {{mate\|({{çdo}}a, b{{enë}}A) h{{sub\|1}} (a{{o}}{{sub\|1}} b) }}<br />. \| {{mate\|{{=Barazim}}h{{sub\|1}}(a){{o}}{{sub\|2}} h{{sub\|1}}(b)}}<br>{{mate\|{{=Barazim}}a'{{o}}{{sub\|2}} b'}}, ku {{mate\|a' {{=Barazim}} h {{sub\|1}} (a), b'{{=Barazim}}h{{sub\|1}} (b)}}; \|- \| {{dygishta}} \| valign="top"\|(2) {{mate\|({{çdo}}a', b'{{enë}} B) h{{sub\|2}} (a'{{o}}{{sub\|2}} b')}} \| {{mate\|{{=Barazim}}h{{sup\|2}}(a'){{o}}{{sub\|3}} h{{sub\|2}} (b')<br>{{=Barazim}}h{{sub\|2}} [h{{sub\|1}}(a)] {{o}}{{sub\|3}} h{{sub\|2}} [h{{sub\|1}} (b)]<br>{{=Barazim}}(h{{sub\|2}}{{o}} h{{sub\|1}}) (a) {{o}}{{sub\|3}} (h{{sub\|2}} {{o}} h{{sub\|1}}) (b)}}. \|} {{dygishta}}Duke shfrytëzuar këto formula marrim: Rreshti 166: \| {{dygishta}} \| valign="top"\|{{mate\|({{çdo}}a, b{{enë}} A) (h{{sup\|2}} {{o}} h{{sub\|1}}) (a {{o}}{{sub\|1}} b)}} \|{{mate\|{{=Barazim}}h{{sub\|2}} [h{{sub\|1}} (a {{o}}{{sub\|1}} b)]<br>{{=Barazim}}h{{sub\|2}} [h{{sub\|1}} (a){{o}}{{sub\|2}} h{{sub\|1}} (b)]<br>{{=Barazim}}h{{sub\|2}} [h{{sub\|1}} (a) {{o}}{{sub\|3}} h{{sub\|2}} h{{sub\|1}} (b)]<br>{{=Barazim}} (h{{sub\|2}} {{o}} h {{sub\|1}}) (a) {{o}}{{sub\|3}} (h{{sub\|2}} {{o}} h{{sub\|1}}) (b)}} \|} :dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë. Rreshti 175: {{dygishta}}Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo ! {{S h e m b u l l i\|23.}} Të shohim grupet {{mate\|({{numratR}}+, .), ({{numratR}}, +) }} dhe {{mate\|h:{{numratR}}+→{{numratR}}}} pasqyrimin e {{mate\|{{numratR}}+}} në {{mate\|{{numratR}} }} që përcaktohet me formulën: <center>{{mate\|h:x→y{{=Barazim}} log x, {{çdo}}x{{enë}}{{numratR}}{{sup\|+}} }}.</center> {{dygishta}}Meqë vlen: <center>{{mate\|({{çdo}}x{{sub\|1}}, x{{sub\|2}} {{enë}} {{numratR}}{{sup\|+}}) log (x{{sub\|1}} • x{{sub\|2}}){{=Barazim}} log x{{sub\|1}} +log x{{sub\|2}} }},</center> :themi se {{mate\|(R{{sup\|+}},.), (R, +)}} janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi {{mate\|h}} homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi {{mate\|h}} është izomorfizëm. Fig. 1.19.

Grupi dhe nëngrupi: Dallime mes rishikimesh