Wikibooks

Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve: Dallime mes rishikimesh

Browse history interactively
← Redaktim më i vjetër
Content deleted Content added
PamorTekst wiki
No edit summary
No edit summary
 
Rreshti 1:
{{StyllaMatricatdhepërcaktorët|Përcaktorët}}
{{dygishta}}Për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të dytë dhe të tretë rëndom shfrytëzohen këto skema:
 
{|
Rreshti 20:
| [[Figura:102c skema e njehsimit të përcaktorëve.PNG|500px]]
|}
 
{{dygishta}}Skemat (b), (b<sub>1</sub>) shprehin rregullën e <i>Legendrit</i> ose rregullën <i>e trekëndëshit</i>, kurse skema (c) rregullën e <i>Sarrusit</i>. Përdorimi i tyre shihet qartas.
{{dygishta}}Mirëpo, për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të tretë mund të shfrytëzohet edhe vetë formula përkufizuese (25). Kur polinomin e këtij përcaktori e paraqesim në këtë trajtë:▼
 
▲{{dygishta}}Mirëpo, për njehsimin e vlerës së përcaktorëve të rendit të tretë mund të shfrytëzohet edhe vetë formula përkufizuese (25). Kur polinomin e këtij përcaktori e paraqesim në këtë trajtë:
 
<center><math>a_{11} (a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12} (a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13} (a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})</math></center>
 
:respektivisht
 
<center><math>
a_{11}
Line 38 ⟶ 43:
\end{vmatrix}
</math></center>
 
:atëherë kemi:
 
<center><math>\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
Line 74 ⟶ 81:
\end{vmatrix}
</math></center>
:quhen <i>subdeterminante</i> ose <i>minore</i> të elementeve <math>a_{11}, a_{12}, a_{13}</math> të <math>\det A</math>. Kur përcaktorin e rendit të tretë (25a) emërtojmë me <math>D</math>, atëherë minoret e elementeve <math>a_{11}, a_{12}, a_{13}</math> emërtohen me <math>D_{11},D_{12},D_{13}</math> dhe përcaktori shprehet: <center><math>D=a_{11}D_{11}-a_{12}D_{12}+a_{13}D_{13}</math>. (...25b)</center>▼
{{dygishta}}Kur përcaktorin e rendit të tretë e shprehim në formën (25a) ose (25b) themi se atë e kemi zhvilluar në minore (subdeterminante) sipas elementeve▼
 
▲:quhen <i>subdeterminante</i> ose <i>minore</i> të elementeve <math>a_{11}, a_{12}, a_{13}</math> të <math>\det A</math>. Kur përcaktorin e rendit të tretë (25a) emërtojmë me <math>D</math>, atëherë minoret e elementeve <math>a_{11}, a_{12}, a_{13}</math> emërtohen me <math>D_{11},D_{12},D_{13}</math> dhe përcaktori shprehet: <center><math>D=a_{11}D_{11}-a_{12}D_{12}+a_{13}D_{13}</math>. (...25b)</center>
:të rreshtit të parë. Fare lehtë mund të provohet se përcaktori <math>D</math> mund të zhvillohet në minore sipas elementeve të cilido rresht ose shtyllë.
 
{{dygishta}}Në përgjithësi, minori që i përgjigjet elementit <math>a_{ik}</math> shënohet me <math>D_{ik}</math>. Prodhimi i minorit <math>D_{ik}</math> me numrin <math>(-1)^{1+k}</math> quhet <i>kofaktor</i> (komplementi algjebrik) i elementit <math>a_{ik}</math> dhe shënohet <math>A_{ik}</math>, pra:▼
<center><math>D=a_{11}D_{11}-a_{12}D_{12}+a_{13}D_{13}</math>. (...25b)</center>
 
▲{{dygishta}}Kur përcaktorin e rendit të tretë e shprehim në formën (25a) ose (25b) themi se atë e kemi zhvilluar në minore (subdeterminante) sipas elementeve të rreshtit të parë. Fare lehtë mund të provohet se përcaktori <math>D</math> mund të zhvillohet në minore sipas elementeve të cilido rresht ose shtyllë.
 
▲{{dygishta}}Në përgjithësi, minori që i përgjigjet elementit <math>a_{ik}</math> shënohet me <math>D_{ik}</math>. Prodhimi i minorit <math>D_{ik}</math> me numrin <math>(-1)^{1+k}</math> quhet <i>kofaktor</i> (komplementi algjebrik) i elementit <math>a_{ik}</math> dhe shënohet <math>A_{ik}</math>, pra:
 
<center><math>A_{ik}=(-1)^{i+k} D_{ik}</math>. (...27)</center>
 
:Duke pasur parasysh këtë, formula (25b) merr këtë trajtë:
 
<center><math>D=a_{11}A_{11} +a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}</math></center>
 
{{dygishta}}Nuk është vështirë të provohet se, në përgjithësi, përcaktori i rendit të tretë <math>D</math> mund të shprehet me formulat:
 
<center><math>D=\begin{cases}
a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3} & (i=1, 2, 3) \\
a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+a_{3k}A_{3k} & (k=1,2,3)
\end{cases}</math>(...28)</center>
 
:që quhen formulat e <i>Laplacit</i><ref>4) Sipas emrit të matematikanit të shquar francez <i>Pilere Simon de Laplace</i> (1749-1827).</ref>.
{{dygishta}}Kurqë quhen formulat e <i>Laplacit</i><ref>4) iSipas përgjithësojmëemrit përtë përcaktorinmatematikanit etë renditshquar francez <mathi>nPilere Simon de Laplace</mathi> përftojmë:(1749-1827).</ref>.
 
Kur formulat e <i>Laplacit</i> i përgjithësojmë për përcaktorin e rendit <math>n</math> përftojmë:
 
<center><math>D=\begin{cases}
a_{i1} A_{i1} +a_{i2}A_{i2}+ \cdots +a_{in}A_{in} & (i=1, 2, \cdots, n) \\
a_{1k}A_{1k}+a_{2k}A_{2k}+ \cdots +a_{nk}A_{nk} & (k=1, 2,\cdots, n)
\end{cases}</math><ref>5) Vërtetimin e këtyre formulave mund ta gjeni në [21), fq. 85-87.</ref>(...28a)</center>
 
{{dygishta}}Nga këto formula shihet se njehsimi i përcaktorit të rendit <math>n</math> reduktohet në njehsimin e <math>n</math> përcaktorëve të rendit <math>n - 1</math>.
{{S h e m b u l l i|9.}} Të njehsohet vlera e përcaktorit▼
==Shembuj==
▲{{S h e m b u l l i|9.}} Të njehsohet vlera e përcaktorit
 
<center><math>D=
\begin{vmatrix}
Line 101 ⟶ 122:
c^2 & 2cd & d^2
\end{vmatrix}</math></center>
 
{{<u>Z g j i d h j e}}:</u> E zhvillojmë përcaktorin në minore sipas elementeve të rreshtit të dytë dhe njëherit aplikojmë vetitë e përcaktorëve siç vijon;
 
{|
|
|{{dygishta}}
|<math>D \,</math>
|<math>=
Line 126 ⟶ 148:
\,</math>.
|}
----
{{S h e m b u l l i|10.}} Të vërtetohet identiteti
 
<center><math>\begin{vmatrix}
a-b-c & 2a & 2a \\
Line 132 ⟶ 156:
2c & 2c &c-a-b
\end{vmatrix}=(a+b+c)^3</math>.</center>
 
{{<u>V ë r t e t i m}}:</u> Duke shfrytëzuar vetitë e përcaktorëve kryhen këto transformime identike
 
{|border=0
|<math>\begin{vmatrix}
Line 175 ⟶ 201:
|}
 
[[Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar]]
 
[[Category:Përcaktorët]]
Marrë nga "https://sq.wikibooks.org/wiki/Njehësimi_i_vlerës_së_përcaktrorëve"