Përcaktorët

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

       Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit $k$ me shtyllën $i$ të matricës $(AB)'$ është $\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$ kurse të matricës $B'A'$ është $\sum _{j=1}^{n}b_{jk}a_{ij}$. Meqenëse:

$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}=\sum _{j=1}^{n},b_{jk}a_{ij}$,

prandaj konkludojmë se është e saktë formula $(AB)'=B'A'$.

5. PËRCAKTORËT

5.1. KUPTIMI I PËRCAKTORIT

       Secilës matricë katrore $A=[a_{ik}]_{1}^{n}$ të rendit $n$ i shoqërohet një dhe vetëm një numër i caktuar i cili quhet përcaktor (determinant) i matricës ose vetëm përcaktor (determinant) dhe shënohet $\det A$ ose $\left|A\right|$

       Kështu për shembull:

       Matricës së rendit të dytë $A=[a_{ik}]_{1}^{2}$ i shoqërohet numri $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$, rrjedhimisht

$\det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$(...24)

i cili quhet përcaktor i rendit të dytë.

       Matricës së rendit të tretë $A=[a_{ik}]_{1}^{3}$ i shoqërohet numri

$\det A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}}=$$a_{11}a_{22}a_{33}$	.
	$+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}$ $-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$	(...25)

i cili quhet përcaktor i rendit të tretë. Ky numër formohet në këtë mënyrë:

       Marrim prodhimin $a_{11}a_{22}a_{33}$ e elementeve të matricës $[a_{ik}]_{1}^{3}$ që ndodhennë diagonalen kryesore. Nëse indekset e dyta të faktorëve të këtij prodhimi permutohen:

$123\qquad 132\qquad 213\qquad 231\qquad 312\qquad 321$

dhe secilit prodhim që del në këtë mënyrë i shoqërohet shenja $+$ ose $-$, varësisht se a i përgjigjet prodhimi permutacionit çift apo tek, atëherë përftohet numri:

$a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}a_{-}a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{1}{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$

që përkufizohet si përcaktor i rendit të tretë.

       Në mënyrë të ngjashme matricës së rendit katërt $A=[a_{ik}]_{1}^{4}$ i shoqërohet numri që përftohet kur në prodhimin $a_{11}a_{22}a_{33}a_{44}$ indeksat e dytë të faktorëve permutohen (dalin: $4!=24$ permutacione) dhe secilit prodhim i shoqërohet parashenja përkatëse:

$\det A=\Sigma \pm a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}a_{3p_{3}}a_{4p_{4}}$.

Ky numër quhet përcaktor i rendit të katërt.

Në përgjithësi, matricës së rendit $nA=[a_{ik}]_{1}^{n}$ i shoqërohet numri që përkufizohet me relacionin

$\det A=\Sigma (-1)^{p}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\ldots a_{np_{n}}$, (26)

(ku $p_{1}p_{2}\ldots p_{n}$ paraqet një permutacion prej elementeve $1,2,\ldots ,n$, kurse $p$ shënon numrin e inversioneve të atij permutacioni) i cili quhet përcaktor i rendit $n$. Në formulën (26) mbledhësit $(-1)^{p}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}\ldots a_{np_{n}}$ quhen kufiza të përcaktorit. Përcaktori i rendit $n$ ka gjithsej $n!$ kufizash. Secila kufizë shprehet në formë të prodhimit prej $n$ faktorëve - elementeve -, ku figuron nga një element prej secilit rresht, respektivisht prej secilës shtyllë.

Vetit e përcaktorëve