Grupi dhe nëngrupi: Dallime mes rishikimesh
Content deleted Content added
No edit summary |
|||
Rreshti 103:
===Përkufizimi===
{{HZP|Grupi i fundëm abelian}}
===Elementi përlindës===
{{dygishta}}Elementi i tillë {{mate|a}} quhet ''përlindëse'' e grupit {{mate|(A, {{o}})}}.
<!---------------------------------------------------------------------------------------- -->
{{S h e m b u l l i|21}} Grupi {{mate|(A, •)}}, ku {{mate|A{{=}}<math> \Big\{ \scriptstyle {1,} \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} </math> <math> \Big\} </math>}} është grup ciklik me dy përlindëse:<math>\textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}</math> dhe <math>\textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}</math>.Vërtet: {{mate|<math>\Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{2}= \textstyle {\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}} , \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{3}= 1, \Big( \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}} \Big)^{4} = \textstyle {\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}, </math>}} etj.
<!---------------------------------------------------------------------------------------- -->
==Vetit e grupit==
Prej aksiomave (a{{sub|1}}) - (a{{sub|4}}) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit:
====Vetia e elementit invers====
{{V e t i a|1.}}Nëse në grupin {{mate|(A, {{o}}) a{{sup|-1}} }} është element invers i elementit {{mate|a}}, edhe elementi {{mate|a}} është invers për elementin {{mate|a{{sup|-1}} }}, d.m.th. {{mate|(a{{sup|-1}}){{sup|-1}} {{=}}a}}.
Kjo veti për grupin aditiv {{mate|(A, {{o+}}) }} ka këtë trajtë: {{mate|-(-a){{=}}a}}.
====Vetia e rrënjës====
{{V e t i a|2.}} Në grupin {{mate|(A, {{o}})}} secili barazim
(1) {{mate|a{{o}}x{{=}}b}},2) {{mate|y{{o}}a{{=}}b}}
ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën .{{mate|x {{=}} a{{sup|-1}} {{o}} b}}, kurse për barazimin (2) trajtën {{mate|y {{=}} b {{o}} a{{sup|-1}} }}. {{dygishta}}Për grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}}) barazimet
<center>{{mate|a {{o+}} x{{=}}b}} dhe {{mate|y {{o+}} a{{=}}b}}</center>
:kanë një zgjidhje të përbashkët: {{mate|x{{=}}y{{=}}(-a) {{o+}} b{{=}}b {{o+}} (-a){{=}}b-a}}.
====Vetit e implikuacioneve====
{{V e t i a|3.}} Në grupin {{mate|(A, {{o}})}} vlejnë këto implikacione:
<center>{{mate|a {{o}} b {{=}} a{{o+}}c{{implikacion}} b{{=}}c}},</center>
<center>{{mate|b{{o}}a{{=}}c{{o}}a{{implikacion}} b {{=}} c}}.</center>
{{dygishta}}Në grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}})}} vlen implikacioni
<center>{{mate|a {{o+}} b{{=}}a {{o+}} c{{implikacion}} b{{=}}c}}.</center>
====Vetia e vlerfshmëris së barazimit====
{{V e t i a|4.}} Në secilin grup {{mate|(A, {{o+}})}} vlen barazia:
<center>{{mate|(a{{o}}b){{sup|-1}}{{=}}b{{sup|-1}}{{o}}a{{sup|-1}} }}.</center>
Në grupin aditiv abelian {{mate|(A, {{o+}})}} kjo veti shprehet me formulën:
<center>{{mate|-(a {{o+}} b){{=}}(-a) {{o+}} (-b)}}.</center>
==Nëngrupi==
Le të jetë {{mate|(A, {{o}})}} grup.
===Përkufizimi===
{{HZP|Nëngrupi}}
===Nëngrupet triviale dhe jotriviale===
Secili grup {{mate|(A, {{o}})}} përmban së paku dy nëngrupe - vetë grupin {{mate|(A, {{o}})}} dhe nëngrupin {{mate|({e}, {{o}})}}, ku {{mate|e}} është element neutral. Këto nëngrupe quhen nëngrupe triviale të grupit {{mate|(A, {{o}})}}. Nëse grupi {{mate|(A, {{o}})}} përmban edhe nëngrupe tjera {{mate|(A{{sub|k}}, k{{=}}1, 2, ... , n}}, ato quhen nëngrupe jotriviale (nëngrupe të vërteta) të grupit {{mate|(A, {{o}})}} dhe shënohen {{mate|(A{{sub|k}}, {{o}}) < (A, {{o}})}}.
{{dygishta}}Që të jetë {{mate|(A{{sub|1}} , {{o}} < (A, {{o}})}} duhet të plotësohen këto tri kushte:
{{dygishta}}(b{{sub|1}}){{mate|A {{sub|1}} {{nën}} A {{dhe}} e {{enë}} A {{sup|1}} }} , ku {{mate|e}} është element neutral;
{{dygishta}}(b{{sub|2}}){{mate|({{çdo}} a,b {{enë}} A{{sub|1}})a {{o}} b {{enë}} A{{sub|1}} }} dhe;
{{dygishta}}(b{{sub|3}}){{mate|({{çdo}} a {{enë}} A{{sub|1}}){{ekziston!}} a{{sup|-1}} {{enë}} A{{sub|1}} }} i tilllë që {{mate|a {{o}} a{{sup|-1}} {{=}} a{{sup|-1}} {{o}} a {{=}} e }} .
{{dygishta}}Saktësia e këtij pohimi rrjedh drejtpërdrejti nga përkufizimet 6.1. dhe 6.3. {{dygishta}}Për shembull:
{{dygishta}}(1){{mate|(A{{sub|1}} ,< (A, {{o}})}} , ku {{mate|A {{=}} { - 1, 1, - i, i}, A{{sub|1}} {{=}} { -1, 1} }} , meqë plotësohen kushtet {{mate|(b{{sub|1}}) - (b{{sub|3}}) }} ;
{{dygishta}}(2){{mate|({{numratZ}} ,, + )<({{numratQ}}, +)}} , sepse
{{dygishta}}(b{{sub|1}}){{mate| {{numratZ}} {{nën}} {{numratQ}} , 0 {{enë}} {{numratZ}} }} ;
{{dygishta}}(b{{sub|2}}){{mate|({{çdo}} a, b {{enë}} {{numratZ}}) a + b {{enë}} {{numratZ}} }}, dhe
{{dygishta}}(b{{sub|3}}){{mate|({{çdo}} a {{enë}} {{numratZ}}) a{{sup|-1}} {{=}} (-a){{enë}} {{numratZ}} }} ; i tillë që {{mate|a+(-a){{=}} 0}} ;
{{dygishta}}(3){{mate|(A,.)<({{numratR}} \{0},.)}} , ku {{mate|A {{=}} {a+b {{rrënja|3}} - {{f!}} a {{enë}} {{numratQ}} , b {{enë}} {{numratQ}} {{dhe}} a+b {{rrënja|3}} {{jo=}} 0} }} ,
:sepse:
{{dygishta}}(b{{sub|1}}){{mate|A {{nën}} {{numratR}} \.{0}, 1 {{enë}} A;}}
{{dygishta}}(b{{sub|2}}){{mate|({{çdo}} a+b {{rrënja|3}} , c + d {{rrënja|3}} {{enë}} A) (a+b {{rrënja|3}}) (c+d {{rrënja|3}}){{=}} p+q {{rrënja|3}} {{enë}} A }} ,
:dhe
{{dygishta}}(b{{sub|3}}){{mate|({{çdo}} a+b {{rrënja|3}} {{enë}} A) a{{sup|-1}} {{=}}<math>\textstyle \mathrm { \frac{a}{a^{2}-3b^{2}} + \frac{-b}{ a^{2}-3b^{2}} }</math> {{rrënja|3}} {{=}} r + s {{rrënja|3}} {{enë}} A}}, i tillë
:që {{mate|a • a{{sup|-1}} {{=}} 1}} .
{{S h e m b u l l i|22}} Të tregohet se bashkësi {{mate|A {{=}} {p{{sub|1}} , p{{sub|2}} , ... p{{sub|6}} } }} ku:
{{dygishta}}{{mate|p{{sub|1}} {{=}} <math> \Bigl( \begin{matrix} \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \\ \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \end{matrix} \Bigr) </math>}},{{mate|p{{sub|2}} {{=}} <math> \Bigl( \begin{matrix} \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \\ \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf c & \scriptstyle \mathbf b \end{matrix} \Bigr) </math>}}, {{mate|p{{sub|3}} {{=}} <math> \Bigl( \begin{matrix} \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \\ \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf c \end{matrix} \Bigr) </math>}},
{{dygishta}}
{{dygishta}}{{mate|p{{sub|4}} {{=}} <math> \Bigl( \begin{matrix} \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \\ \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c & \scriptstyle \mathbf a \end{matrix} \Bigr) </math>}},{{mate|p{{sub|5}} {{=}} <math> \Bigl( \begin{matrix} \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \\ \scriptstyle \mathbf c & \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b \end{matrix} \Bigr) </math>}},{{mate|p{{sub|6}} {{=}} <math> \Bigl( \begin{matrix} \scriptstyle \mathbf a & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf c \\ \scriptstyle \mathbf c & \scriptstyle \mathbf b & \scriptstyle \mathbf b \end{matrix} \Bigr) </math>}},
:në lidhje me shumëzimin e pasqyrimeve {{mate|{{o}} }} është grup {{mate|(A, {{o}}) }}. Të caktohen të gjitha nëngrupet jotriviale të grupit {{mate|(A, {{o}}) }}. {{Z g j i d h j e}} Formojmë tabelën e shumëzimit të pasqyrimeve:
{|border=0 align=center cellpadding=0 cellspacing=1 style="text-align: center;"
| {{mate|{{o}}}}
|rowspan="9" bgcolor="black" style="width:1px" |
| {{mate| p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}}}}
|-style="height:1px"
|colspan="3" bgcolor="black" |
|-
| {{mate|p{{sub|1}}}}
| {{mate| p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}}}}
|-
| {{mate|p{{sub|2}}}}
| {{mate| p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}} p{{sub|1}}}}
|-
| {{mate|p{{sub|3}}}}
| {{mate| p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}} p{{sub|1}} p{{sub|2}}}}
|-
| {{mate|p{{sub|4}}}}
| {{mate| p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}} p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}}}}
|-
| {{mate|p{{sub|5}}}}
| {{mate| p{{sub|5}} p{{sub|6}} p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}}}}
|-
| {{mate|p{{sub|6}}}}
| {{mate| p{{sub|6}} p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}}}}
|}
<br clean=all />
{{dygishta}}Nga kjo tabelë shihet se plotësohen të katër aksiomat e grupit, ku {{mate|p{{sub|1}} }} është element neutral, kurse për secilin element të bashkësisë {{mate|A}} ekziston elementi invers në lidhje me veprimin {{mate|{{o}} }} :
{| align=center
|{{dygishta}}
| Elementi|| {{mate|p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}} }}
|-
| ||colspan="2" bgcolor="black" |
|-
| ||Elem. i invers || {{mate|p{{sub|1}} p{{sub|2}} p{{sub|3}} p{{sub|4}} p{{sub|5}} p{{sub|6}} }}
|}
:andaj {{mate|(A, {{o}})}} është grup.
{{dygishta}}Nëngrupet jotriviale të grupit {{mate|(A, {{o}})}} janë: {{mate|(A{{sub|1}}, {{o}}), (A{{sub|2}}, {{o}}), (A{{sub|3}}, {{o}})}} dhe {{mate|(A{{sub|4}},{{o}} ) }} ku: {{mate|A{{sub|1}}{{=}}{p{{sub|1}}, p{{sub|2}}}, A{{sub|2}}{{=}}{p{{sub|1}}, p{{sub|3}}}, A{{sub|3}}{{=}}{p{{sub|1}}, p{{sub|6}}} dhe A{{sub|4}}{{=}}{p{{sub|1}}, p{{sub|4}}, p{{sub|6}} } }}
==Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit==
{{dygishta}}Le të jenë {{mate|(A, {{o}}), (B, {{*}} ) }} dy grupe dhe {{mate|h:A→B}} pasqyrimi bashkësisë i {{mate|A}} në bashkësinë {{mate|B}}. Thuhet se grupet {{mate|(A, {{o}} ) }} dhe {{mate|(B, {{*}} ) }} janë ''homomorfe'', kurse pasqyrimi{{mate|h}} ''homorfizëm'' i grupit {{mate|(A, {{o}})}} në grupin {{mate|(B, {{*}} ) }}, nëse (fig. 1.17.):
<center>{{mate|({{çdo}}a, b {{enë}} A) h (a {{o}} b) {{=}} h (a) {{*}} h (b) }}.(...51)</center>
{{dygishta}}Kur {{mate|h (A){{=}}B}}, {{mate|h}} quhet ''homomorfizëm'' i grupit {{mate|(A, {{o}})}} mbi grupin {{mate|(B, {{*}})}} ose ''homomorfizëm'' surjektiv apo ''epimorfizëm'' (fig. 1.18.).
:::Fig. 1.18. Fig. 1.17.
{{dygishta}}Nëse {{mate|e}} dhe {{mate|e'}} janë elementet neutrale të grupeve homomorfe {{mate|(A, {{o}})}} dhe {{mate|(B, {{*}})}}, atëherë kemi:
{|border=0 align=center cellpadding=0 cellspacing=1
| {{mate|h (a) {{=}} h (a {{o}} e) {{=}} h (a) {{*}} h (e)}}
|rowspan="2"|{{mate| <math> \Big\} </math> h (e) {{=}} e'}},
|-
| {{mate|h (a) {{=}} h (e {{o}} a) {{=}} h (e) {{*}} h (a)}}
|}
:çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit {{mate|(A, {{o}})}} është element neutral i grupit {{mate|(B, {{*}})}}.
{{T e o r e m a|6.1.1.| Nëse {{mate|h{{sub|1}} }} është homomorfizëm i {{mate|(A, {{o}}{{sub|1}})}} në {{mate|(B, {{o}}{{sub|2}})}} dhe h{{sub|2}} homomorfizëm i {{mate|(B, {{o}}{{sub|2}})}} në {{mate|(C, {{o}}{{sub|3}})}}, shumëzimi {{mate|h{{sub|2}}{{o}} h{{sub|1}} }} është homomorfizëm i {{mate|(A, {{o}}{{sub|1}})}} në {{mate|(C, {{o}}{{sub|3}})}}.}}
{{V ë r t e t i m}} Nga hipotezat e teoremës kemi:
{|
|{{dygishta}}
| valign="top"|(1) {{mate|({{çdo}}a, b{{enë}}A) h{{sub|1}} (a{{o}}{{sub|1}} b) }}<br />.
| {{mate|{{=}}h{{sub|1}}(a){{o}}{{sub|2}} h{{sub|1}}(b)}}<br>{{mate|{{=}}a'{{o}}{{sub|2}} b'}}, ku {{mate|a' {{=}} h {{sub|1}} (a), b'{{=}}h{{sub|1}} (b)}};
|-
| {{dygishta}}
| valign="top"|(2) {{mate|({{çdo}}a', b'{{enë}} B) h{{sub|2}} (a'{{o}}{{sub|2}} b')}}
| {{mate|{{=}}h{{sup|2}}(a'){{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} (b')<br>{{=}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}}(a)] {{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (b)]<br>{{=}}(h{{sub|2}}{{o}} h{{sub|1}}) (a) {{o}}{{sub|3}} (h{{sub|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (b)}}.
|}
{{dygishta}}Duke shfrytëzuar këto formula marrim:
{|
|-
| {{dygishta}}
| valign="top"|{{mate|({{çdo}}a, b{{enë}} A) (h{{sup|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (a {{o}}{{sub|1}} b)}}
|{{mate|{{=}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a {{o}}{{sub|1}} b)]<br>{{=}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a){{o}}{{sub|2}} h{{sub|1}} (b)]<br>{{=}}h{{sub|2}} [h{{sub|1}} (a) {{o}}{{sub|3}} h{{sub|2}} h{{sub|1}} (b)]<br>{{=}} (h{{sub|2}} {{o}} h {{sub|1}}) (a) {{o}}{{sub|3}} (h{{sub|2}} {{o}} h{{sub|1}}) (b)}}
|}
:dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
{{dygishta}}Homomorfizmi injektiv i grupit {{mate|(A, {{o}}) }} në grupin {{mate|(B, {{*}}) }} quhet <i>izomorfizëm</i> i {{mate|(A, {{o}}) }} në {{mate|(B, {{*}})}} (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi {{mate|h}} është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i {{mate|(A, {{o}}) }} mbi {{mate|(B, {{*}}) }} quhet izomorfizëm i {{mate|(A, {{o}})}} mbi {{mate|(B, {{*}})}} dhe thuhet se grupet {{mate|(A, {{o}}) }}, {{mate|(B, {{*}}) }} janë <i>izomorfe</i> ndërmjet tyre.
{{dygishta}}Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.
:Fig. 1.20.
{{T e o r e m a|6.1.2.| Nëse {{mate|i{{sub|1}} }} është izomorfizëm i grupit {{mate|(A, {{o}}{{sub|1}}) }} mbi grupin {{mate|(B, {{o}}{{sub|2}}) }} dhe {{mate|i{{sub|2}} }} izomorfizëm i {{mate|(B, {{o}}{{sub|2}}) }} mbi {{mate|(C, {{o}}{{sub|3}}) }}, shumëzimi {{mate|i{{sub|2}} {{o}} i{{sub|1}} }} është izomorfizëm i grupit {{mate|(A, {{o}}{{sub|1}}) }} mbi grupin {{mate|(C, {{o}}{{sub|3}}) }}. }}
{{dygishta}}Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !
{{S h e m b u l l i|23.}} Të shohim grupet {{mate|({{numratR}}+, .), ({{numratR}}, +) }} dhe {{mate|h:{{numratR}}+→{{numratR}}}} pasqyrimin e {{mate|{{numratR}}+}} në {{mate|{{numratR}} }} që përcaktohet me formulën:
<center>{{mate|h:x→y{{=}} log x, {{çdo}}x{{enë}}{{numratR}}{{sup|+}} }}.</center>
{{dygishta}}Meqë vlen:
<center>{{mate|({{çdo}}x{{sub|1}}, x{{sub|2}} {{enë}} {{numratR}}{{sup|+}}) log (x{{sub|1}} • x{{sub|2}}){{=}} log x{{sub|1}} +log x{{sub|2}} }},</center>
:themi se {{mate|(R{{sup|+}},.), (R, +)}} janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi {{mate|h}} homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi {{mate|h}} është izomorfizëm.
Ëig. 1.19.
[[Category:Algjebra e përgjithëshme]]
| |||