|
==Llojet e grupit==
Nëse veprimi binar {{o}}<math>\circ</math> është komutativ, {{mate|<math>(A, {{o}}\circ )}}\!</math> quhet grup ''komutativ'' ose ''abelian''<ref>14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .</ref>. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, {{mate|<math>(A, +)}}\!</math> , respektivisht {{mate|<math>(A, .\cdot)}}\!</math> quhet grup ''aditiv'', respektivisht grup ''multiplikativ''. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.
P.sh. grupe aditive janë : {{mate|<math>( \mathbb{{numratQ}Q} , + ), ( \mathbb{{numratR}R} , + ), ( \mathbb{{numratR}R}\setminus \ {mathbb{numratQ}Q} , + )}}</math> , ndërkaq grupe multiplikative janë : {{mate|<math>( \mathbb{{numratQ}Q}\setminus \{left\lbrace 0}\right\rbrace, .\cdot), ( \mathbb{{numratR}R}\setminus \{left\lbrace 0}\right\rbrace , .\cdot), (A, .\cdot)}}</math> ku {{mate|<math>A {{=}} {\left\lbrace -1, 1, - i, i}} }\right\rbrace\!</math> . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.
===Grupi aditiv dhe multiplikativ===
P.sh.: Të tregohet se bashkësia {{mate|<math>A {{=}} {\left\lbrace 0, 1, 2, 3, 4}} }\right\rbrace</math> në lidhje me mbledhjen sipas <math>\mathrm{{mate|modulit}\ 5}}\!</math> është grup aditiv {{mate|<math>(A, +_5 )}}\!</math> , kurse bashkësia {{mate|<math> B {{=}} {\left\lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 6}} }\right\rbrace</math> në lidhje me shumëzimin, sipas <math>\mathrm{{mate|modulit}\ 7}}\!</math> , është grup multiplikativ {{mate|<math>(B, -{{sub|7}}\cdot_7 )}}\!</math> .
<u>Zgjidhje</u>: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas <math>\mathrm{{mate|modulit}\ 5}}\!</math> , respektivisht {{mate|<math>7}}\!</math> duket kështu:
<math>\begin{array}{c|cccccccc}
+_5 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
Nga këto tabela shihet se:
: (1) {{mate|<math>(A, +{{sub|5}} _5)}}\!</math> është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas <math>\mathrm{{mate|modulit}\ 5}} \!</math>:
<math>\begin{array}{l|cccccccc}
\mathrm{Elementi} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\end{array}
</MATH>
: (2) {{mate|<math>(B, •{{sub|7}}\cdot_7 )}}</math> është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas <math>\mathrm{{mate|modulit}\ 7}}\!</math> :
<math>\begin{array}{l|cccccccc}
\mathrm{Elementi} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
| 