|
==Veprimet në grup==
Në përgjithësi, kur në grupin {{mate| <math>(A, {{o}} \circ) }}</math> :
: - veprimi binar quhet ''mbledhje'' dhe në vend të simbolit {{o}}<math>\circ</math> përdoret simboli {{o+}}<math>\oplus</math> , atëherë {{mate|<math> (A, {{o+}}\oplus)}}</math> quhet ''grup aditiv'' ; ndërsa kur
: - veprimi binar quhet ''shumëzim'' dhe në vend të simbolit {{o}}<math>\circ</math> përdoret simboli {{o*}}<math>\odot</math> , atëherë {{mate|<math>(A, {{o*}}\odot )}}</math> quhet ''grup multiplikativ''.
Për grupin aditiv {{mate|(A, {{o+}} )}} elementi neutral shënohet me {{mate|0}} , kurse elementi invers (i kundërt) me {{mate|- a}} .
{{S h e m b u l l i|20.}} - Të tregohet se bashkësia {{mate| <math>A {{=}} {(a, b) {{f!}}| a {{enë}} \in \mathbb{{numratZZ}} ,\ b {{enë}} \in \mathbb{{numratZ}Z}</math> }} } në lidhje me veprimin {{o+}}<math>\oplus</math> të përkufizuar me formulën :
<CENTER> {{mate| <math>(a, b) {{o+}}\oplus (c, d) {{=}} (a+c, b+d)</math> }}</CENTER>
:është grup {{mate|(A, {{o+}} )}} .
{{Z g j i d h j e}} : Meqë bashkësia {{mate|A}} në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :
{|
|{{dygishta}}
|: (a{{<sub|>1</sub>) <math>\begin{array}{l} )
| {{mate|( {{çdo}}\forall (a, b),\ (c, d) {{enë}}\in A) ( {{ekziston\exist!}}\ (e, f ) {{enë}}\in A )}} \\
| {{mate|(a, b) {{o+}}\oplus (c, d) {{= }} (a+c, \ b+d) {{= }} (e, f) }} ;|| \\▼|-
\end{array}</math>
|{{dygishta}}
|
▲| {{mate|(a, b) {{o+}} (c, d) {{=}} (a+c, b+d) {{=}} (e, f)}} ;||
: (a<sub>2</sub>) <math>
|-
\begin{array}{rl}
|{{dygishta}}
(\forall (a,b),\ (c,d),\ (e,f)\in A) & \\
| (a{{sub|2}} )
| {{mate|( {{çdo}} (a, b),\oplus [ (c, d),\oplus (e, f)] &= {{enë}}(a, b)\oplus (c + e, d + f A)}} \\
| || & ||{{mate| {{= }} (a+c+e, b+d+ f ) }} \\▼|-
& = (a+c, b+d)\oplus (e, f) \\
|{{dygishta}}
& = [(a, b) \oplus (c, d)\oplus (e, f)]\\
|
\end{array}</math>
|colspan="2"|
: (a<sub>3</sub>) <math>
{|
\begin{array}{l}
|
|(\forall {{mate|(a, b)\in {{o+}} [A) (c,\exist d) {{o+}}!\ (e0,0)\in f.A)]}} \\
|(a, {{mate|b)\oplus {{=}} (a0, b0) {{o+}}= (c0, +0)\oplus e (a, db) += f(a, b)}} \\
\end{array}</math> dhe
|-
: (a<sub>4</sub>) <math>
▲| || ||{{mate| {{=}} (a+c+e, b+d+ f )}}
\begin{array}{l}
|-
(\forall (a,b)\in A) (\exist !\ (-a,-b)\in A) \\
| || ||{{mate| {{=}} (a+c, b+d) {{o+}} (e, f)}}
| || ||{{mate|(a, b) \oplus {{o+}} (-a, -b) {{= }} (-a, -b) {{o+}}\oplus (a, b) {{= }} (0, 0) }} \\▼|-
\end{array}</math>
| || ||{{mate| {{=}} [(a, b) {{o+}} (c, d) {{o+}} (e, f)] }} ;
|}
:konkludojmë se {{mate|<math>(A, {{o+}}\oplus ) }}</math> është grup aditiv. ▼|-
==Grupi i fundem dhe i pafundëm==
|
{{dygishta}} Grupi {{mate|<math>(A, {{o}}\oplus ) }}</math> quhet ''i fundëm'' ose ''i pafundëm'' varësisht prej faktit se bashkësia {{mate|<math>A }}</math> a është fundme apo e pafundme. ▼|(a{{sub|3}} )
===Përkufizimi===
|{{mate|( {{çdo}} (a, b) {{enë}} A) ( {{ekziston!}} (0, 0) {{enë}} A)}}
{{ P ë r k u f i z i m i|6.2.HZP|Grupi i fundëm abelian}} ▼|-
|
| || {{mate|(a, b) {{o+}} (0, 0) {{=}} (0, 0) {{o+}} (a, b) {{=}} (a, b)}} ; dhe
|-
|
| (a{{sub|4}} )
| {{mate|( {{çdo}} (a, b) {{enë}} A) ( {{ekziston!}} (-a, -b) {{enë}} A)}}
|-
▲| || ||{{mate|(a, b) {{o+}} (-a, -b) {{=}} (-a, -b) {{o+}} (a, b) {{=}} (0, 0)}}
|}
▲:konkludojmë se {{mate|(A, {{o+}} )}} është grup aditiv.
▲{{dygishta}} Grupi {{mate|(A, {{o}} )}} quhet ''i fundëm'' ose ''i pafundëm'' varësisht prej faktit se bashkësia {{mate|A}} a është fundme apo e pafundme.
▲ {{P ë r k u f i z i m i|6.2.|Grupi i fundëm abelian}}
[[Category:Algjebra e përgjithëshme]]
|
