Grupi dhe nëngrupi

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Veprimet binare Kuptimi i tyre Ligjet e veprimeve binare‎ Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :

Përkufizimi

Semigrupi (A, $\circ$ ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a $\scriptstyle \in$ A ekziston elementi invers a^-1 $\scriptstyle \in$ A.

Sistemi i aksiomave të grupit

Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët A lidhur me veprimin binar $\circ$ është grup, nëse plotësohen këto kushte :

(a₁ ) Bashkësia A është e mbyllur lidhur me veprimin binar $\circ$ , pra:

( $\scriptstyle {\forall }$ a, b $\scriptstyle \in$ A)( $\scriptstyle {\exists !}$ c $\scriptstyle \in$ A) a $\circ$ b = c ;

(a₂ ) Veprimi binar $\circ$ është asociativ, pra :

( $\scriptstyle {\forall }$ a, b, c $\scriptstyle \in$ A)(a $\circ$ b) $\circ$ c = a $\circ$ (b $\circ$ c) ;

(a₃ ) Në bashkësinë A ekziston elementi neutral për veprimin binar $\circ$ , pra :

( $\scriptstyle {\exists !}$ e $\scriptstyle \in$ A)( $\scriptstyle {\forall }$ a $\scriptstyle \in$ A)a $\circ$ e = e $\circ$ a = a ; dhe

(a₄ ) Për secilin element a $\scriptstyle \in$ A ekziston elementi invers a^-1 $\scriptstyle \in$ A ashtu që :

a $\circ$ a¹ = a^-1 $\circ$ a = e .

Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.

Llojet e grupit

Nëse veprimi binar $\circ$ është komutativ, (A, $\circ$ ) quhet grup komutativ ose abelian. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim, (A, +) , respektivisht (A, .) quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.

P.sh. grupe aditive janë : ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ , + ), ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ , + ), ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ \ $\scriptstyle \mathbb {Q}$ , + ) , ndërkaq grupe multiplikative janë : ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ \{0}, .), ( $\scriptstyle \mathbb {R}$ \{0}, .), (A, .) ku A = { -1, 1, - i, i } . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.

Grupi aditiv dhe multiplikativ

P.sh.: Të tregohet se bashkësia A = {0, 1, 2, 3, 4 } në lidhje me mbledhjen sipas modulit 5 është grup aditiv (A, + ) , kurse bashkësia B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } në lidhje me shumëzimin, sipas modulit 7 , është grup multiplikativ (B, -₇ ) .

Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas modulit 5 , respektivisht 7 duket kështu:

+5		0   1   2   3   4		+7		1   2   3   4   5   6
0	0   1   2   3   4	1		1   2   3   4   5   6
1	1   2   3   4   0	2		2   3   4   5   6   1
2	2   3   4   0   1	3		3   4   5   6   1   2
3	3   4   0   1   2	4		4   5   6   1   2   3
4	4   0   1   2   3	5		5   6   1   2   3   4
				6	6   1   2   3   4   5

Nga këto tabela shihet se:

        (1) (A, +₅ ) është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas modulit 5 :

	Elementi	0 1 2 3 4
	Elem. i kundërt	0 4 3 2 1

        (2) (B, •₇ ) është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas modulit 7 :

	Elementi	1 2 3 4 5 6
	Elem. invers	1 4 5 2 3 6

Veprimet në grup

Në përgjithësi, kur në grupin (A, $\circ$ )  :

- veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit $\circ$ përdoret simboli $\oplus$ , atëherë (A, $\oplus$) quhet grup aditiv ; ndërsa kur

- veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit $\circ$ përdoret simboli $\odot$ , atëherë (A, $\odot$ ) quhet grup multiplikativ.

        Për grupin aditiv (A, $\oplus$ ) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .

       S h e m b u l l i  20. -  - Të tregohet se bashkësia A = {(a, b) $\scriptstyle \mid$ a $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , b $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$ } në lidhje me veprimin $\oplus$ të përkufizuar me formulën :

(a, b) $\oplus$ (c, d) = (a+c, b+d)

është grup (A, $\oplus$ ) .

       Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :

	(a1 )	( $\scriptstyle {\forall }$ (a, b), (c, d) $\scriptstyle \in$ A) ( $\scriptstyle {\exists !}$ (e, f ) $\scriptstyle \in$ A )
		(a, b) $\oplus$ (c, d) = (a+c, b+d) = (e, f) ;
	(a2 )	( $\scriptstyle {\forall }$ (a, b), (c, d), (e, f) $\scriptstyle \in$ A)
		(a, b) $\oplus$ [ (c, d) $\oplus$ (e, f.)] = (a, b) $\oplus$ (c + e, d + f ) = (a+c+e, b+d+ f ) = (a+c, b+d) $\oplus$ (e, f) = [(a, b) $\oplus$ (c, d) $\oplus$ (e, f)]  ;
	(a3 )	( $\scriptstyle {\forall }$ (a, b) $\scriptstyle \in$ A) ( $\scriptstyle {\exists !}$ (0, 0) $\scriptstyle \in$ A)
		(a, b) $\oplus$ (0, 0) = (0, 0) $\oplus$ (a, b) = (a, b) ; dhe
	(a4 )	( $\scriptstyle {\forall }$ (a, b) $\scriptstyle \in$ A) ( $\scriptstyle {\exists !}$ (-a, -b) $\scriptstyle \in$ A)
		(a, b) $\oplus$ (-a, -b) = (-a, -b) $\oplus$ (a, b) = (0, 0)

konkludojmë se (A, $\oplus$ ) është grup aditiv.

        Grupi (A, $\circ$ ) quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia A a është fundme apo e pafundme.

       P ë r k u f i z i m i  6.2. - Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a $\scriptstyle \in$ A , i tillë që me përsëritjen e veprimit $\circ$ në a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.