Hipi Zhdripi i Matematikës/5

Nga latinishtja në kuptimin E premja, E ndara. Është rrafshi i sistemit kordinativ, kordinata e parë

x_{1}

e një pike të dhënë me çiften {

x_{1};y_{1}

}.

y_{2}

në latinisht quhet ordinata e pikës. Zakonisht për emërtimin e brinjëve anësore përdoren shprehja boshti, anësorja apo brinja .

Shpalosja NË ENCIKLOPEDI

Shpalosja është vizatimi i një objekti në hapësirën dy dimesionale ashtu që kur të bashkohen pikat e caktuar e japin objektin. Vizatimet e tilla paraqesin një rrjetë të trupave. Disa trupa mund të kenë rrjeta të ndryshme po që i përgjigjen një trupi. Si p.sh shpalosja e një kubi mund të bëhet në rrjeta të ndryshme. Në figurën 2 janë paraqitur rrjetat e një piramide.

Shembull 1


Fig 1 Shpalosja e kubit			Fig 2 Shpalosja e Piramidës

Shpalosjet janë bazat e ndërtimit të trupave gjeometrik nga letra. Pasi që rrjeta e shpalosur e një anije është shumë e ngatërruar rami i rrjetave të trupave përbërës të anijes lyhet me një ngjitës, ashtu që kur të nxiten gjitha pjesët e japin anijen. Me ndihmën e figurave 1 dhe 2 mund të ndërtoshtë një kub (zarë) dhe një piramidë.

Numërimi NË ENCIKLOPEDI

Fig 1 : Çiftet e bashkërenditura të bashkësisë N x N

Është pasqyrimi i kthyeshëm dhe i vetëm i një bashkësie të pafundme

\mathbb {M}

në bashkësinë e numrave natyralë

\mathbb {N}

. Po që se ekziston një pasqyrim i tillë atëherë secili element i bashkësisë

\mathbb {M}

bartë vetëm një numër, dhe çdo numër është numër rendorë i elementeve të bashkësisë

\mathbb {M}

. Elementet e bashkësisë

\mathbb {M}

duhet të jenë të identifikueshme me numrin e tyre.

Le të shohim Bashkësinë

\mathbb {N} \times \mathbb {N}

, d.m.th bashkësia e gjitha pikave-nyje (çifteve të renditura) të rrjetës së ndërtuar mbi sistemin kordinativ. Pikat-nyje mund të numërohen si në figurën 1.

Radhitja në listë e këtij numërimi fillon si vijon:

$1\Leftrightarrow (1,1)$	$5\Leftrightarrow (1,3)$	$9\Leftrightarrow (3,1)$
$2\Leftrightarrow (2,1)$	$6\Leftrightarrow (2,3)$	$10\Leftrightarrow (4,1)$
$3\Leftrightarrow (2,2)$	$7\Leftrightarrow (3,3)$	$11\Leftrightarrow (4,2)$
$4\Leftrightarrow (1,2)$	$8\Leftrightarrow (3,2)$	$12\Leftrightarrow (4,3)$

Një bashkësi e pafundme

\mathbb {M}

quhet e numërueshme nëse ekziston një pasqyrim i një kuptimtë nga

\mathbb {M}

në

\mathbb {N}

. Kështu pra bashkësia

\mathbb {N} \times \mathbb {N}

është e numërueshme.

Përkufizimi i numërimit ndihmon për të kuptuar bashkësitë e pafundme por që janë të numërueshme sepse ka bashkësi që nuk "mund" apo jo që janë vetëm të pa fundme por edhe të panumërueshme. Me shprehjen e përkufizuar për numërimin e bashkësive dallohen llojet e bashkësive të pafundme. Me këtë qëllim përdoret edhe termi numri karderizian apo çiftet e renditura.

Fig 2 : Çiftet e bashkërenditura

Fig 3 : Çiftet e bashkërenditura të bashkësisë Z x Z

Nëse bashkësia

\mathbb {M}

është e numërueshme, atëherë ka pa kufi mënyra për ta numëruar atë bashkësi. Një mundësi tjetër për të numëruar bashkësinë

\mathbb {N} \times \mathbb {N}

është paraqitur në figurën 2.

Bashkësia

\mathbb {Z}

e numrave të plotë, po ashtu është e numërueshme. Një numërim i saj është edhe ky:

$0\Leftrightarrow 1$
$+1\Leftrightarrow 2$	$-1\Leftrightarrow 3$
$+2\Leftrightarrow 4$	$-2\Leftrightarrow 5$
$+3\Leftrightarrow 6$	$-3\Leftrightarrow 7$
$\vdots$	$\vdots$
$+n\Leftrightarrow 2n$	$-n\Leftrightarrow 2n+1$
$\vdots$	$\vdots$

Po ashtu edhe bashkësia e çifteve të renditura të numrave të plotë (d.m.th

\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}

) është e numërueshme, siç është paraqitur në grafikun Fig 3.

Edhe bashkësia e thyesave është e numërueshme. Ky përfundim mund ë nxirret nga Fig 1 dhe Fig 2: e paraqesim çiftin e renditur {Nuk e kuptoj (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {a,b}}} } si thyesë

{a \over b}

dhe gjatë numërimit i përjashtojmë (kapërcejmë) gjitha thyesat për të cilat Nuk e kuptoj (Conversion error. Server ("https://wikimedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {a,b}}} nuk janë përkatëse (pjesë e njohur).

Me këtë mund të shihet se edhe bashkësia

{\boldsymbol {\varphi }}

e numrave racional është e numërueshme. Kjo po ashtu pa ndonjë ndihmë mund të shihet në Fig 1 dhe Fig 2: I shkruajmë numrat racional si thyesa të numrave të plotë, ku emëruesi është pozitiv dhe numëruesi e emëruesi nuk janë plotpjesëtueshëm.

Atëherë me Larësin e numrit racional

z \over n

(

z\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N}

) kuptojmë, numrin natyrorë

\mid z\mid +n

. Tani të numërojmë radhët sipas numrave racional të Lartësisë 1, Lartësisë 2, Lartësisë 3 e me radhë. Pasi që secili numër racional ka vetëm Lartësi të fundme dhe çdo Lartësi ka vetëm numër të kufizuar të numrave racional kështu merr secili numër racional një numër të saktë.

$Lart{\ddot {e}}sia\ 1:$	; ${0 \over 1}$	$Numr{\ddot {e}}r\ 1$ (e para)
$Lart{\ddot {e}}sia\ 2:$	${-1 \over 1},{1 \over 1}$	$Numrat\ 2,3$
$Lart{\ddot {e}}sia\ 3:$	${-2 \over 1},{-1 \over 2},{1 \over 2},{2 \over 1}$	$Numrat\ 4-7$
$Lart{\ddot {e}}sia\ 4:$	${-3 \over 1},{-1 \over 3},{1 \over 3},{3 \over 1}$	$Numrat\ 18-11$
$Lart{\ddot {e}}sia\ 5:$	${-4 \over 1},{-3 \over 2},{-2 \over 3},{-1 \over 4},{1 \over 4},{2 \over 3},{3 \over 2},{4 \over 1}$	$Numrat\ 12-19$
$Lart{\ddot {e}}sia\ 6:$	${-5 \over 1},{-1 \over 5},{1 \over 5},{5 \over 1}\cdots$	$Numri\ 20-23$

Edhe bashkësitë e nën bashkësive të fundme të

\mathbb {N}

janë të numërueshme. Kështu së pari i klasifikojmë nën bashkësitë sipas elementit më të madh dhe pastaj ju japim numrat me radhë:

$Numri\ 1$	:	$bashk{\ddot {e}}si\ boshe$
$Numri\ 2$	:	$\left\{1\right\}$
$Numri\ 3,4$	:	$\left\{2\right\},\left\{1,2\right\}$
$Numri\ 5,6,7,8$	:	$\left\{2\right\},\left\{1,3\right\},\left\{2,3\right\},\left\{1,2,3\right\}$

Mirëpo bashkësia e të gjitha nën bashkësive të

\mathbb {N}

nuk është e numërueshme, siç vërtetohet. Bashkësitë e tilla quhen Bashkësi të sipër numërueshme apo shkurt bashkësi të sipërme. Një bashkësi e tillë është edhe bashkësia

\mathbb {R}

e numrave real.

Një shembull: Jashtë galaksisë gjendet Hoteli "Transfinal", i cili ka pa kufi dhoma por të numërueshme. Hoteli është i mbushu për plotë nuk ka më vend. Pastaj vije një grup me 100 turistë që dëshirojnë në Hotel. Portieri i Hotelit ju thotë atyre se nëse lëvizin më tej do të sigurojë edhe 100 dhoma për ta. D.m.th pas dhomës n në dhomat n+100. Pas një kohe vije edhe një shoqatë e madhe me pa kufi turistë të numërueshëm (që mund të nxehen). Tani shtrohet pyetja si mund të ju siguroi dhoma këtyre Portieri? Për të pas çdo turistë dhomën e vetë duhet që të pranojnë të marrin dhomat me numër të dyfishtë. D.m.th nga dhoma n në dhomat 2n. Kështu kjo shoqatë zë pa kufi dhoma me numra çift të numërueshëm, ndërsa Hotelit i mbeten të zbrazëta pa kufi dhoma të me numra të dyfishtë tekë.

Sipas një autori të fantazive shkencore nga Polonia STANISLAW LEM.

< 4

faqe
- 5 -

6 >

puno dhe pershtati fatos zekolli