Aksiomat e kongruencës

5. Aksiomat e kongruencës Grupin e tretë të aksiomave të gjeometrisë euklidiane e përbëjnë aksiomat e kongruencës. Me anë të këtyre aksiomave përcaktohet relacioni themelor “kongruent” të cilin disa autorë e quajnë edhe relacioni i ekuidistancave. Relacionin e kongruences do ta shënojmë me simbolin “”. Kështu faktin që segmenti AB është kongruent me segmentin CD e shënojmë ABCD, ose faktin që këndi ABC është kongruent me këndin DEF e shënojmë: ABCDEF. K1: (aksioma e konstruktimit të segmentit). Le të jetë AB çfardo një segment jo zero dhe Ce një gjysëmdrejtzë me fillim në pikën C. Në gjysëmdrejtzën Ce egziston pika e vetme D e tillë që ABCD. (figura 1)

Figura 1. K2. Kongruenca e segmenteve plotëson këto veti: i) Vetia refleksive: çdo segment është kongruent me vetveten: ABAB, për çdo AB. ii) Vetia e simetrisë: nëse ABCD atëherë CDAB. iii)Vetia transzitive: nëse ABCD dhe CDEF, atëherë ABEF. K3. Le të jenë A, B, C tri pika të një drejtëze a dhe A’, B’, C’, tri pika tjera të drejtzës a ose të një drejtze tjetër b, të tilla që A-B-C dhe A’-B’-C’. i) Nëse ABA’B’ dhe BCB’C’, atëherë ACA’C’ ii) Nëse ABA’B’ dhe ACA’C’ atëherë BCB’C’ (figura 2)

Figura 2. K4. (Aksioma e konstruktimit të këndit). Le të jetë (OA,OB) një kënd i çfardoshëm dhe O’ një pikë e një drejtëze l të një rrafshi . Le të jetë O’C’ një nga gjysëmdrejtëzat e përcaktuara nga pika O’ dhe drejtëza l, atëherë egziston një dhe vetëm një gjysëmdrejtzë O’D në gjysëmrrafshin ’ (’’) e tillë që (OA,OB)(O’C’,O’D).

Figura 3. K5. Kongruenca e këndeve plotëson këto veti: i) Vetia refleksive: (OA,OB)(OA,OB) ii) Vetia simetrisë: nëse (OA,OB)(O’X,O’Y), atëherë (O’X,O’Y)(OA,OB) iii) Vetia tranzitive: nëse (OA,OB)(UC,UD) dhe (UC,UD)(WX,WY), atëherë (OA,OB)(WX,WY) K6. Le të jenë Oh, Ok dhe Ol gjysëmdrejtëza me fillim të përbashkët në pikën O dhe të vendosura në të njëjtin rrafsh . Le të jenë O’r, =’s, O’t gjysëmdrejtëza me fillim të përbashkët në pikën O’ dhe të vendosura në të njejtin rrafsh  ose një rrafsh tjetër ’. Supozojmë po ashtu se Ol ndodhet në brendësinë e (Oh,Ok) dhe O’t ndodhet në brendësinë e (O’r, O’s) (shih figurën 4), atëherë:

Figura 4 i) Nëse (Oh,Ol)(O’r,O’t) dhe (Ol,Ok)(O’t,O’s) atëherë (Oh,Ok)(O’r,O’s) ii) Nëse (Oh,Ol)(O’r,O’t) dhe (Oh,Ok)(O’r,O’s) atëherë (Ol,Ok)(O’t,O’s) Kjo aksiomë tregon se rezultati i shumës dhe diferencë së këndeve kongruente janë kënde poashtu kongruente.

Pohim 1. Të gjithë këndet e shtrira janë kënde kongruente. Vërtetim: Supozojmë se këndet AOB dhe A’O’B’ janë kënde të shtrrira, vërtetojmë se ato janë kongruente.

Figura 5 Në të vërtët , nga aksioma e konstruktimit të këndit, egziston gjysëmdrejtëza OX bredna gjysëmrrafshit 1l e tillë që AOXA’O’B’. Me qenëse A’O’B’ është kënd i shtrirë sipas supozimit, atëherë AOX po ashtu është i shtrirë prandaj OX dhe OA janë gjysëmdrejtëza të kundërta të të njejtës drejtëzë, por nga supozimi se AOB është i shtrirë kemi se OA dhe OB janë gjysëmdrejtëza të kundërta dhe nga aksioma e ndarjes në drejtzë OXOB, prandaj AOBA’O’B’. Përkufizim 1: Le të jenë A, B, C tri pika të ndryshme jokolineare. Unioni i segmenteve AB, BC, CA përcakton trekëndëshin me kulmet A, B dhe C të cilin e shënojmë ABC. . Figura 6 Segmentet AB, BC, dhe CA quhen brinjë të trekëndëshit, këndet ABC, BAC dhe ACB quhen kënde të brendshme të trekëndëshit ABC. Këndet e brendhsme të trekëndëshit i shënojmë edhe sipas kulmeve A, B dhe C, ose me anë të shkronjave , , . Brendësia e trekëndëshit përkufizohet : Int ABC=AB,C∩AC,B∩BC,A Në një trekëndësh ABC themi se A është kënd i përballshëm me brinjën BC, po ashtu themi se brinja BC është brinjë e përballshme e këndit A. E njëta gjë vlen edhe për këndet dhe brinjët tjera të trekëndëshit. Detyrë për ushtrime: Vërteto se trekëndëshi është figurë konvekse. 4.Përkufizim 2. (kongruenca e trekëndëshave), Trekëndëshi ABC është kongruent me trekëndëshin A’B’C’, nëse: ABA’B’, ACA’C’, BCB’C’; ABCA’B’C’, BACB’A’C’, BCAB’C’A’

Figura 7 Simbolikisht e shënojmë: ABCA’B’C’. Nga përkufizimi i mësipërm kemi se dy trekëndësha janë kongruent nëse i kan të gjitha brinjët dhe të gjitha këndet kongruente. Aksioma në vazhdim vendos kushtet minimale për kongruencën e dy trekëndëshave, të cilën e njohim si aksioma Brinja-Këndi-Brinja (BKB). K7. (Aksioma BKB). Nëse te trekëndëshat ABC dhe A’B’C’ vlejnë: ABA’B’, ACA’C’, dhe BACB’A’C’, atëherë: ABCA’B’C’ (figura 8) Figura 8 == Kong ruenca e trekëndëshave==