Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Kur në matricën katrore $A=[a_{ik}]_{1}^{n}$ secili element i saj $a_{ik}$ zëvendësohet me kofaktorin $A_{ki}$ elementit $a_{ki}$ të $\det A$ përftohet një matricë që quhe't matricë e adjunguar (matricë reciproke) e matricës $A$ dhe shënohet $adj\ A$, pra:

$adj\ A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}$(...29)

Përcaktori i matricës së adjunguar (29) quhet përcaktor i adjunguar i matricës $A$ dhe shënohet $\det adj\ A$, pra:

$\det \ adj\ A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}$(...30)

Meqenëse, në bazë të identiteteve:

$a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+\cdots +a_{in}A_{kn}={\begin{cases}D,&kur\ i=k\\0,&kur\ i\neq k\end{cases}}$ (...28b) $a_{1i}A_{1k}+a_{2i}A_{2k}+\cdots +a_{ni}A_{nk}={\begin{cases}D,&kur\ i=k\\0,&kur\ i\neq k\end{cases}}$ (...28c)

ku $D=\det A,\ i,k=l,2,\cdots ,n$ dhe në bazë të formulës (18) për prodhimin e matricave, del:

$A\cdot adj\,A={\begin{bmatrix}D&&&0\\&D&&\\&&\ddots &\\0&&&D\end{bmatrix}}$(...29a)

prandaj

$(\det A)(\det adj\,A)=(\det A)^{n}\,$(...31}

respektivisht

$\det adj\,A=(\det A)^{n-1}\,$.(...31a)

Shembuj

Të gjindet $adj\,A$ dhe $\det adj\,A$, nëse

$A={\begin{bmatrix}3&-4&5\\2&-3&1\\3&-5&-1\end{bmatrix}}$.

Z g j i d h j e : Duke zbatuar formulën (30) përftohet:

$adj\,A$

$={\begin{bmatrix}{\begin{vmatrix}-3&1\\-5&-1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-4&6\\-5&-1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}-4&5\\-3&1\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}2&1\\9&-1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}3&5\\3&-1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}3&5\\5&1\end{vmatrix}}\\{\begin{vmatrix}2&-3\\3&-5\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}3&-4\\3&-5\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}3&-4\\2&-3\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}8&-29&11\\5&-18&7\\-1&3&-1\end{bmatrix}}$

Meqë $\det A=-1$, në bazë të formulës (31a), del:

$\det adj\,A=(-1)^{2}=1$,

gjë që konfirmohet edhe me:

$\det {\begin{vmatrix}8&-29&11\\5&-18&7\\-1&3&-1\end{vmatrix}}=1$.