Hipi Zhdripi i Matematikës/1277

Tash duhet të vërtetojmë se limiti i fundit është i barabartë me $\ln a$ , pra: Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle \begin{align} \lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x} & = \begin{vmatrix} \mathrm{Z\ddot{e}vend:}\ a^{\Delta x}-1=y\Rightarrow \Delta x \ln a=\ln (1+y)\\ y\rightarrow 0\ \mathrm{kur}\ \Delta x\rightarrow 0 \end{vmatrix}= \\ & =\lim_{y\to 0}\frac{\ln (1 +y)}{\ln a}=\ln a \cdot \lim_{y\to 0}\frac{1}{\ln (1 +y)^{1/y}} \\ & =\ln a \cdot\frac {1}{\ln [\lim_{y\to 0} (1 +y)^{1/y}]}=\ln a \frac{1}{\ln e}=\ln a \end{align} } Pra, konkludojmë: $(a^{x})'=a^{x}\ln a$ . Kur $a=e$ , kjo formulë merrë trajtën: $(e^{x})'=e^{x}$ , (49) çka do të thotë se: derivati i funksionit eksponencial natyror $y=e^{x}$ është i barabartë me vetveten. Kur në formulat (48) dhe (49) argumentin konsiderojmë si argument ndërmjetës dhe e shënojmë me $u$ , del: $(a^{u})'=a^{u}\ln a\cdot u'\quad$ (48a) dhe $(e^{u})'=e^{u}u'$ . (49a) S h e m b u l l i 37. - Derivati i funksionit Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikibooks.org/v1/":): {\displaystyle y=a^{x^{2}} e^{3x}} është: ${\begin{aligned}y'=(a^{x^{2}}e^{3x})'&=(a^{x^{2}})'e^{3x}+a^{x^{2}}(e^{3x})'=2xa^{x^{2}}e^{3x}\ln a+3a^{x^{2}}e^{3x}=\\&=a^{x^{2}}e^{3x}(2x\ln a+3)\end{aligned}}$ . T e o r e m a 3.6.2. - Derivati i funksionit logaritmik $y=\log _{a}x$ është i barabartë me ${\frac {1}{x}}\log _{a}e$ , pra: $(\log _{a}x)'={\frac {1}{x}}\log _{a}e$ . (50) V ë r t e t i m Këtu shtesës së argumentit $\Delta x$ i përgjigjet shtesa e funksionit $\Delta y=\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}x=\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)$ ku raporti i këtyre shtesave është: ${\begin{aligned}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}&=\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{1/\Delta x}={\frac {\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)}{\Delta x}}=\\&=\log _{a}\left[\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{x/\Delta x}\right]^{1/x}={\frac {1}{x}}\cdot \log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{x/\Delta x}.\end{aligned}}$