Bashkësitë dhe veprimet me bashkësi

Sa elemente ka bashkesia {11,12.....29}?

Përcaktimi i bashkësive

Në matematikë bashkësië caktohen në dy mënyra:

• (1) me numërimin e të gjitha elementeve

A $\scriptstyle {=}$ {a₁ , a₂ , a₃ , . . . , a_n } ose

• (2) me përshkrimin e vetive karakteristike të elementeve:

A $\scriptstyle {=}$ {x $\scriptstyle \mid$ F(x)} .

Në formulën e fundit F(x) paraget një funksion gjykimesh me variablen x, kurse A bashkësinë e elementeve të atilla që kur cilido prej tyre zëvendësohet në F(x) e shndërron atë në gjykim të saktë.

Relacioni i përkatëshmërisë

Me formulën a$\scriptstyle \in$A përcaktohet se a është element i bashkësisë A ( a i përket bashkësisë A) dhe quhet relacion i përkatshmërisë. Negacioni i këtij relacioni shënohet : b$\scriptstyle \not \in$A ose $\scriptstyle {\lnot }$(b$\scriptstyle \in$A).

Bashkësia e zbrazët

Bashkësia që nuk e përmban asnjë element quhet bashkësi e zbrazët (vakante) dhe shënohet me simbolin $\scriptstyle {\varnothing }$. P.sh. bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit x² + 1 $\scriptstyle {=}$0 në fushën e numrave realë është bashkësi e zbrazët.

Bashkësitë numerike

Në matematikë rëndom shqyrtohen bashkësitë elementet e të cilave janë objekte matematikore. Bashkësitë që kanë për objekte (elemente) numra të ndryshëm quhen bashkësi numerike. Bashkësitë më të rëndësishme numerike janë: bashkesit kuptimi dhe elementet e alfabetit

• (1) Bashkësia e numrave natyralë : $\scriptstyle \mathbb {N}$$\scriptstyle {=}$ { 1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . . } ;
• (2) Bashkësia e numrave të plotë : $\scriptstyle \mathbb {Z}$$\scriptstyle {=}$ { . . . , - 2, -1, 0,1, 2, . . . } ;
• (3) Bashkësia e numrave racionalë : $\scriptstyle \mathbb {Q}$$\scriptstyle {=}$${\{}\scriptstyle {p \over q}$$\scriptstyle \mid$ p$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {Z}$, q$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$$\displaystyle {\}}$ :
• (4) Bashkësia e numrave realë : $\scriptstyle \mathbb {R}$$\scriptstyle {=}$ {x$\scriptstyle \mid$-$\scriptstyle {\infty }$ < x < +$\scriptstyle {\infty }$ } ;
• (5) Bashkësia e numrave kompleksë : $\scriptstyle \mathbb {C}$$\scriptstyle {=}$ {x+iy$\scriptstyle \mid$x$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {R}$, y$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {R}$, i$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle {\sqrt {-1}}$ } ;
• (6) Bashkësia e numrave çiftë (parë) : $\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$$\scriptstyle {=}$ {n$\scriptstyle \mid$ n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$ $\scriptstyle \land$ n$\vdots$2} ;
• (7) Bashkësia e numrave tekë (cupë) : $\scriptstyle {\mathbb {N} _{c}}$$\scriptstyle {=}$ {n$\scriptstyle \mid$n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$ $\scriptstyle \land$ n$\not \vdots$2}.

Nënbashkësistë

Përkufizimi

Bashkësia A quhet nënbashkësi e bashkësisë B, nëse çdo element i bashkësisë A është njëherit element edhe i bashkësisë B

Formulimi i përkufizimit

AB($\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$A):x$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \in$B,

ku simboli lexohet: sipas përkufzimit atëherë dhe vetëm atëherë.

Vetitë

Formula AB quhet relacioni i inkluzionit ose i përfshirjes, simboli është shenja e atij relacioni.

Mbibashkësitë

Sinonim i relacionit AB është AB, ku B është mbibashkësi e bashkësisë A.

Nga përkufizimi 2.1.1. dalin këto dy inkluzione:

AA dhe $\scriptstyle {\varnothing }$A (...8)

për çdo bashkësi A .

Nënbashkësia e vërtet

Kur AA dhe $\scriptstyle {\exists }$x$\scriptstyle \in$B ashtu që x$\scriptstyle \not \in$A, thuhet se A është nënbashkësi (pjesë) e vërtetë e bashkësisë B dhe shënohet AB. Negacioni i këtij relacioni shënohet AB. P.sh.: $\scriptstyle \mathbb {N}$$\scriptstyle \mathbb {Z}$, $\scriptstyle \mathbb {Z}$$\scriptstyle \mathbb {Q}$, $\scriptstyle \mathbb {Q}$$\scriptstyle \mathbb {R}$, $\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$$\scriptstyle \mathbb {N}$, $\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$$\scriptstyle {\mathbb {N} _{c}}$, {a,b,c} {a,b,d,e,f}.

Përkufizimi

Bashkësia e pjesëve të bashkësisë A quhet bashkësia e të gjitha nënbashkësive të bashkësisë A, pra :

P(A){X$\scriptstyle \mid$XA} . (...9)

Koncepti i bashkësive

Në bazë të këtij përkufizimi mund të konkludohet se bashkësia dhe elementi janë koncepte relative - A mund të konsiderohet si bashkësi të elementeve të caktuara A$\scriptstyle {=}${x$\scriptstyle \mid$F(x)} , por edhe si element i bashkësisë së caktuar A$\scriptstyle \in$P(A) .

Barazia e bashkësive

Nëse bashkësia A është e fundme dhe ka n elemente, atëherë bashkësia P(A) ka $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}$$\scriptstyle {=}$2ⁿ elemente.

Përkufizimi

Dy bashkësi A, B janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë, kur AB dhe BA

Formulimi i përkufizimit

A$\scriptstyle {=}$BAB$\scriptstyle \land$BA. (...10)

Për shembullê: {a, b, c}$\scriptstyle {=}${b, a, c}.

---